Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點D．

（1）如圖1，點E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求證：BE=AF；

（2）點M，N分別在直線AD，AC上，且∠BMN=90°．

①如圖2，當點M在AD的延長線上時，求證：AB+AN=AM；

②當點M在點A，D之間，且∠AMN=30°時，已知AB=2，直接寫出線段AM的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②AM=．

【解析】（1）先判斷出∠BAD=∠CAD=45°，進而得出∠CAD=∠B，再判斷出∠BDE=∠ADF，進而判斷出△BDE≌△ADF，即可得出結論；

（2）①先判斷出AM=PM，進而判斷出∠BMP=∠AMN，判斷出△AMN≌△PMB，即可判斷出AP=AB+AN，再判斷出AP=AM，即可得出結論；

②先求出BD，再求出∠BMD=60°，最后用三角函數求出DM，即可得出結論．

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°．

∵AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，

∴∠CAD=∠B，AD=BD．

∵∠EDF=∠ADC=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴DE=DF；

（2）①如圖1，過點M作MP⊥AM，交AB的延長線于點P，

∴∠AMP=90°．

∵∠PAM=45°，

∴∠P=∠PAM=45°，

∴AM=PM．

∵∠BMN=∠AMP=90°，

∴∠BMP=∠AMN．

∵∠DAC=∠P=45°，

∴△AMN≌△PMB（ASA），

∴AN=PB，

∴AP=AB+BP=AB+AN．

在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，

∴AP=AM，

∴AB+AN=AM；

②在Rt△ABD中，AD=BD=AB=．

∵∠BMN=90°，∠AMN=30°，

∴∠BMD=90°﹣30°=60°．

在Rt△BDM中，DM==，

∴AM=AD﹣DM=﹣．