Question

【題目】已知中，，，．點由出發沿向點勻速運動，同時點由出發沿向點勻速運動，它們的速度相同，點在上，，且點在點的下方，當點到達點時，點，也停止運動，連接，設．解答下列問題：

如圖，當為何值時，為直角三角形；

如圖，把沿翻折，使點落在點．

①當為何值時，四邊形為菱形？并求出菱形的面積；

②如圖，分別取，的中點，，在整個運動過程中，則線段掃過的區域的形狀為________，其面積為________．

Answer 1

【答案】平行四邊形

【解析】

（1）△ADF為直角三角形，有兩種可能：∠ADF=90°或∠AFD=90°，根據銳角三角函數，分兩種情況進行討論，列方程求解即可；

（2）①根據菱形的判定，可知當AD=DF時，四邊形ADFD′為菱形，根據銳角三角函數列方程求出x，計算菱形的面積即可；②根據三角形中位線定理可知，線段MN掃過的區域的形狀是平行四邊形，其面積為．

解：（1）∵∠ACB=90°，BC=8，tanA=

∴BC=8，AB=10，

∴AD=x，BE=x，AF=6-x，

當∠ADF=90°，如圖1左圖，

∵tanA=

∴cosA=

∴

x=；

當∠AFD=90°，如圖1右圖，

∵tanA=

∴cosA=

∴

x=，

∴當

x=或x=，

△ADF為直角三角形；

（2）①如圖2，

∵AD=AD′，D′F=DF，

∴當AD=DF時，四邊形ADFD′為菱形，

∴連接DD′⊥AF于G，AG=，

∵tanA=，

∴cosA=，

∴，

∴x=，

S菱形=×DD′×AF=××=；

②平行四邊形，

∵M、N分別為D′F、D′E的中點，

∴MN∥EF，MN=EF=2，

∴線段MN掃過的區域的形狀是平行四邊形，

當D運動到C，則F正好運動到A，此時MA=D′A=DA=3，

∵∠DAB=∠D′AB，

∴tanA=tan∠D′AB=，

點M到AB的距離設為4x，則（3x）2+（4x）2=32，

解得：x=，

4x=

∴線段MN掃過的區域的形狀是平行四邊形的面積=2×=．