Question

已知：拋物線y=x²+bx+c的對稱軸是x=2，且經過點A（1，0），且與x軸的另一個交點為B，與y軸交于點C，
（1）確定此二次函數的解析式及頂點D的坐標；
（2）將直線CD沿y軸向下平移3個單位長度，求平移后直線m的解析式．
（3）在直線m上是否存在一點E，使得以點E、A、B、C為頂點的四邊形是梯形，如果存在，求出滿足條件的E點的坐標，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=x²+bx+c的對稱軸是x=2，且經過點A（1，0），-

b

2

=2，0=1+b+c，可得b=-4，c=3，從而求出答案；
（2）設CD的解析式為：y=kx+b，把D（2，-1），C（0，3）代入即可求解，然后根據平移原則即可得出答案；
（3）過點C作CE∥AB交M于點E，由y=-2x，y=3即可求出E點的坐標；過點A作E₁A∥BC交m于點E₁設CB解析式為y=kx+b，把經過B（3，0），C（0，3）代入即可求解；設E₁A解析式為：y=-x+b，把點A（1，0）可求出b的值；再過點B作BE₃∥AC，則可求出E₃坐標．

解答：解：（1）拋物線y=x²+bx+c的對稱軸是x=2，且經過點A（1，0）
-

b

2

=2，0=1+b+c，
∴b=-4，c=3
∴y=x²-4x+3
∴y=（x-2）²-1，
∴頂點D坐標（2，-1）；

（2）設CD的解析式為：y=kx+b
∵D（2，-1），C（0，3），
∴3=b，-1=2k+b
解得：k=-2，b=3
∴DC的解析式為：y=-2x+3；
設平移后直線m的解析式為：y=-2x+k
∵直線CD沿y軸向下平移3個單位長度
∴直線m經過原點
∴平移后直線m的解析式為：y=-2x；

（3）過點C作CE∥AB交M于點E
由y=-2x，∵y=3
∴x=-

3

2

，y=3
∴E點的坐標為（-

3

2

，3），
過點A作E₁A∥BC交m于點E₁
設CB解析式為y=kx+b
∵經過B（3，0），C（0，3）
∴CB解析式為：y=-x+3
設E₁A解析式為：y=-x+b
∵E₁A過點A（1，0）
∴b=1
∴E₁A的解析式為y=-x+1
∵y=-2x
∴x=-1，y=2
∴E₁點坐標為（-1，2），
過點B作BE₃∥AC，
則可求E₃坐標為：E₃（9，-18）．

點評：本題考查了二次函數綜合題，難度較大，關鍵是掌握用代入法求解函數的解析式．