Question

（2010•集美區(qū)模擬）已知：拋物線y=x²+（m-1）x+m-2與x軸相交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₁＜1＜x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）記拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，P（x₃，m）是線段BC上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線與拋物線交于點(diǎn)Q（x₄，y₄），若四邊形POCQ是平行四邊形，求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，進(jìn)而求出m的取值范圍即可；也可利用求根公式以及根的判別式求出即可；
（2）首先求出直線BC的解析式，進(jìn)而求出P，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，再利用平行四邊形的性質(zhì)求出CO=PQ，進(jìn)而求出m的值，得出拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式即可．

解答：解：（1）解法一：∵拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，
即：1+（m-1）+（m-2）＜0，
解得：m＜1，
則m的取值范圍是m＜1；
解法二：∵△=（m-1）²-4（m-2）=（m-3）²，
由求根公式可得：x₁=-1，x₂=2-m，
∵x₁＜1＜x₂，
∴2-m＞1，
解得：m＜1，
∴m的取值范圍是m＜1；

（2）解法一：由（1）可得B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2-m，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，m-2），
代入y=kx+b，得：

b=m-2 0=k(2-m)+m-2

，
解得：

k=1 b=m-2

，
故直線BC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=x+m-2，
以P（x₃，m）代入求得：m=x₃+m-2，
解得：x₃=2，
∵四邊形POCQ是平行四邊形，∴PQ⊥x軸，
∴x₄=2，
y₄=4+2（m-1）+m-2=3m，
PQ=OC=m-y₄=m-3m=-2m=2-m，
解得：m=-2，
可得拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=x²-3x-4，
解法二：直線BC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x+m-2，
以P（x₃，m）代入求得：x₃=2，
求出OP方程：y=

m

2

x，
∵CQ∥OP，可求出CQ方程：y=

m

2

x+m-2，

mx

2

+m-2=x²+（m-1）x+m-2，
解得：x₄=1-

m

2

，
由1-

m

2

=x₃=2，
解得：m=-2，
可得拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=x²-3x-4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，根據(jù)已知得出CO=PQ進(jìn)而用m表示出兩線段長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．