Question

【題目】四邊形ABCD內接于⊙O，連接AC、BD，2∠BDC+∠ADB＝180°．

（1）如圖1，求證：AC＝BC；

（2）如圖2，E為⊙O上一點， ＝，F為AC上一點，DE與BF相交于點T，連接AT，若∠BFC＝∠BDC+∠ABD，求證：AT平分∠DAB；

（3）在（2）的條件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）8

【解析】

（1）只要證明∠CAB=∠CBA即可．
（2）如圖2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．想辦法證明TL=TH即可解決問題．
（3）如圖3中，連接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．證明△EAG≌△TDH（AAS），推出AG=DH，證明Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），推出DH=DR，同理可得AL=AH，BR=BL，設DH=x，則AB=2x，
由S△ADB=BDAQ=ADh+ABh+DBh，可得AQ=h，再根據sin∠BDE=sin∠ADE，sin∠AED=sin∠ABD，構建方程組求出m即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，

∵2∠BDC+∠ADB＝180°，

∴∠ABC＝∠BDC，

∵∠BAC＝∠BDC，

∴∠BAC＝∠ABC，

∴AC＝BC．

（2）如圖2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．

∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，

∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，

∵∠BFC＝∠BDC+∠ABD，

∴∠ABF＝∠ABD，

∴BT平分∠ABD，

∵ ＝

∴∠ADE＝∠BDE，

∴DT平分∠ADB，

∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．

∴TR＝TL，TR＝TH，

∴TL＝TH，

∴AT平分∠DAB．

（3）如3中，連接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．

∵ ＝

∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，

∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，

∴∠TAE＝∠ATE，

∴AE＝TE，

∵DT＝TE，

∴AE＝DT，

∵∠AGE＝∠DHT＝90°，

∴△EAG≌△TDH（AAS），

∴AG＝DH，

∵AE＝EB，EG⊥AB，

∴AG＝BG，

∴2DH＝AB，

∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），

∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，

設DH＝x，則AB＝2x，

∵AD＝8，DB＝12，

∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，

∴x＝5，

∴DH＝5，AB＝10，

設TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，

∵S△ADB=BDAQ=ADh+ABh+DBh，

∴12AQ＝（8+12+10）h，

∴AQ＝h，

∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得＝＝，

sin∠AED＝sin∠ABD，可得＝＝＝，

∴＝，

解得m＝4或﹣4（舍棄），

∴DE＝2m＝8．