Question

【題目】閱讀下面材料：
在數學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？
小敏在思考問題是，有如下思路：連接AC．

結合小敏的思路作答

（1）若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀（如圖2），則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由；參考小敏思考問題方法解決一下問題：
（2）如圖2，在（1）的條件下，若連接AC，BD．
①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明；
②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：是平行四邊形，

證明：如圖2，連接AC，

∵E是AB的中點，F是BC的中點，

∴EF∥AC，EF= AC，

同理HG∥AC，HG= AC，

綜上可得：EF∥HG，EF=HG，

故四邊形EFGH是平行四邊形

（2）

解：①AC=BD．

理由如下：

由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG= BD，HG= AC，

∴當AC=BD時，FG=HG，

∴平行四邊形EFGH是菱形

②當AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形；

理由如下：

同（2）得：四邊形EFGH是平行四邊形，

∵AC⊥BD，GH∥AC，

∴GH⊥BD，

∵GF∥BD，

∴GH⊥GF，

∴∠HGF=90°，

∴四邊形EFGH為矩形．

【解析】（1）如圖2，連接AC，根據三角形中位線的性質得到EF∥AC，EF= AC，然后根據平行四邊形判定定理即可得到結論；（2）由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG= BD，HG= AC，于是得到當AC=BD時，FG=HG，即可得到結論；（3）根據平行線的性質得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根據矩形的判定定理即可得到結論．此題主要考查了中點四邊形，關鍵是掌握三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．