Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，E，F分別是AC，BC上的點（點E不與端點A，C重合），且AE=CF，連接EF并取EF的中點O，連接DO并延長至點G，使GO=OD，連接DE，DF，GE，GF．
（1）求證：四邊形EDFG是正方形；
（2）當點E在什么位置時，四邊形EDFG的面積最小？并求四邊形EDFG面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接CD，如圖1所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中點，

∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．

在△ADE和△CDF中， ，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△EDF為等腰直角三角形．

∵O為EF的中點，GO=OD，

∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，

∴四邊形EDFG是正方形

（2）解：過點D作DE′⊥AC于E′，如圖2所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴DE′= BC=2，AB=4 ，點E′為AC的中點，

∴2≤DE＜2 （點E與點E′重合時取等號）．

∴4≤S四邊形EDFG=DE2＜8．

∴當點E為線段AC的中點時，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．

【解析】（1）連接CD，根據等腰直角三角形的性質可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，結合AE=CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據全等三角形的性質可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通過角的計算可得出∠EDF=90°，再根據O為EF的中點、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；（2）過點D作DE′⊥AC于E′，根據等腰直角三角形的性質可得出DE′的長度，從而得出2≤DE＜2 ，再根據正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°)，還要掌握二次函數的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)的相關知識才是答題的關鍵．