Question

【題目】閱讀材料：
在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，==，利用上述結論可以求解如下題目：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．
解：在△ABC中，∵=∴b====3．
理解應用：
如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，且乙船從B1處按北偏東15°方向勻速直線航行，當甲船航行20分鐘到達A2時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里．

（1）判斷△A1A2B2的形狀，并給出證明
（2）求乙船每小時航行多少海里？

Answer 1

【答案】
（1）

解：△A1A2B2是等邊三角形，理由如下：

連結A1B2．

∵甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，航行20分鐘到達A2，

∴A1A2=30×=10，

又∵A2B2=10，∠A1A2B2=60°，

∴△A1A2B2是等邊三角形

（2）

解：如圖，∵B1N∥A1A2，

∴∠A1B1N=180°﹣∠B1A1A2=180°﹣105°=75°，

∴∠A1B1B2=75°﹣15°=60°．

∵△A1A2B2是等邊三角形，

∴∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，

∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．

在△B1A1B2中，∵A1B2=10，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，∠A2A1B2=60°，

由閱讀材料可知，=，

解得B1B2==，

所以乙船每小時航行：÷=20海里．

【解析】（1）先根據路程=速度×時間求出A1A2=30×=10，又A2B2=10，∠A1A2B2=60°，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可得出△A1A2B2是等邊三角形；
（2）先由平行線的性質及方向角的定義求出∠A1B1B2=75°﹣15°=60°，由等邊三角形的性質得出∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，那么∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．然后在△B1A1B2中，根據閱讀材料可知，=，求出B1B2的距離，再由時間求出乙船航行的速度．
此題考查了解直角三角形中方向角的問題，涉及知識點有等邊三角形判定與性質，平行線性質，三角函數的應用等.