Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2﹣2ax與x軸相交于O、A兩點，OA=4，點D為拋物線的頂點，并且直線y=kx+b與該拋物線相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，B點的橫坐標是﹣1．

（1）求k，a，b的值；

（2）若P是直線AB上方拋物線上的一點，設P點的橫坐標是t，△PAB的面積是S，求S關于t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，當PB∥CD時，點Q是直線AB上一點，若∠BPQ+∠CBO=180°，求Q點坐標．

Answer 1

【答案】（1）k=1、a=2、b=4；（2）s=﹣t2﹣ t﹣6，自變量t的取值范圍是﹣4＜t＜﹣1；（3）Q（﹣，）

【解析】

（1）根據題意可得A（-4，0）代入拋物線解析式可得a，求出拋物線解析式，根據B的橫坐標可求B點坐標，把A，B坐標代入直線解析式，可求k，b

（2）過P點作PN⊥OA于N，交AB于M，過B點作BH⊥PN，設出P點坐標，可求出N點坐標，即可以用t表示S．

（3）由PB∥CD，可求P點坐標，連接OP，交AC于點R，過P點作PN⊥OA于M，交AB于N，過D點作DT⊥OA于T，根據P的坐標，可得∠POA=45°，由OA=OC可得∠CAO=45°則PO⊥AB，根據拋物線的對稱性可知R在對稱軸上．設Q點坐標，根據△BOR∽△PQS，可求Q點坐標．

（1）∵OA=4

∴A（﹣4，0）

∴﹣16+8a=0

∴a=2，

∴y=﹣x2﹣4x，當x=﹣1時，y=﹣1+4=3，

∴B（﹣1，3），

將A（﹣4，0）B（﹣1，3）代入函數解析式，得，

解得，

直線AB的解析式為y=x+4，

∴k=1、a=2、b=4；

（2）過P點作PN⊥OA于N，交AB于M，過B點作BH⊥PN，如圖1，

由（1）知直線AB是y=x+4，拋物線是y=﹣x2﹣4x，

∴當x=t時，yP=﹣t2﹣4t，yN=t+4

PN=﹣t2﹣4t﹣（t+4）=﹣t2﹣5t﹣4，

BH=﹣1﹣t，AM=t﹣（﹣4）=t+4，

S△PAB=PN（AM+BH）=（﹣t2﹣5t﹣4）（﹣1﹣t+t+4）=（﹣t2﹣5t﹣4）×3，

化簡，得s=﹣t2﹣ t﹣6，自變量t的取值范圍是﹣4＜t＜﹣1；

∴﹣4＜t＜﹣1

（3）y=﹣x2﹣4x，當x=﹣2時，y=4即D（﹣2，4），當x=0時，y=x+4=4，即C（0，4），

∴CD∥OA

∵B（﹣1，3）．

當y=3時，x=﹣3，

∴P（﹣3，3），

連接OP，交AC于點R，過P點作PN⊥OA于M，交AB于N，過D點作DT⊥OA于T，如圖2，

可證R在DT上

∴PN=ON=3

∴∠PON=∠OPN=45°

∴∠BPR=∠PON=45°，

∵OA=OC，∠AOC=90°

∴∠PBR=∠BAO=45°，

∴PO⊥AC

∵∠BPQ+∠CBO=180，

∴∠BPQ=∠BCO+∠BOC

過點Q作QS⊥PN，垂足是S，

∴∠SPQ=∠BOR∴tan∠SPQ=tan∠BOR，

可求BR=，OR=2，

設Q點的橫坐標是m，

當x=m時y=m+4，

∴SQ=m+3，PS=﹣m﹣1

∴，解得m=﹣．

當x=﹣時，y=，

Q（﹣，）．