Question

【題目】如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，BC的延長線與⊙O的切線AF交于點F．

（1）求證：∠ABC=2∠CAF；

（2）若AC=， ，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE的長為8.

【解析】分析：（1）首先連接BD，由AB為直徑，可得∠ADB=90°，又由AF是 O的切線，易證得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，證得：∠ABC=2∠CAF；

（2）連接AE，利用已知條件分別求出BC，CE的長，由BE=BC-CE計算即可．

本題解析：

（1）證明：連結BD.∵AB是的直徑，∴∠ADB=90°.∴∠DAB+∠DBA=90°.∵AB=AC,∴2∠ABD=∠ABC,AD= AC.∵AF為⊙O的切線，∴∠FAB=90°.∴∠FAC+∠CAB=90°.∴∠FAC=∠ABD, ∠ABC=2∠CAF.

（2）解：連接AE.∴∠AEB=∠AEC=90°.∵sin∠CAF= , ∠ABD=∠CAF=∠CBD=∠CAE∴sin∠ABD=sin∠CAF=．∵∠ABD=90°,AC=2 ,∴AD= ,AB= =10.∵∠AEC=90°,AC=2 ,∴CE=AC·sin∠CAE=2 , ∴BE=BC-CE=10-2=8.