Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O， BC是⊙O 的直徑，點A是⊙O上的定點，AD平分∠BAC交⊙O于點D，DG∥BC，交AC延長線于點G.

（1）求證：DG與⊙O相切；

（2）作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，試判斷線段BE，CF、EF三者之間的數量關系，并證明你的結論(不用尺規作圖的方法補全圖形).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BE＝CF+EF，理由見解析。

【解析】

（1）由AD平分∠BAC得到，再由垂徑定理可得DO⊥BC，并進一步得出DG與⊙O相切；

（2）作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，連接BD,CD.先證明△BDE≌△DCF，再由全等三角形的性質可得出BE＝CF+EF.因點A是⊙O上的定點，故只需考慮圖中情況，不用考慮BE＝CF-EF時的情況.

（1）證明：如圖，連接DO并延長到圓上一點N

∵AD平分∠BAC交⊙O于點D，
∴∠BAD=∠DAC，

∴DO⊥BC，
∵DG∥BC，
∴∠GDO=90°，
∴DG與⊙O相切；

（2）BE＝CF+EF，理由如下：

如圖，作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，連接BD,CD.

∴∠BED=∠DFC=90°

∵BC是直徑，，

∴BD=CD, ∠BDC=90°,

∴∠BDE=∠DCF

在△BDE和△DCF中，

∴△BDE≌△DCF（AAS）

∴DE＝CF，BE＝DF

∵DF＝DE+EF

∴BE＝CF+EF