Question

如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連結FC（AB＞AE）．

（1）△AEF與△EFC是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由；
（2）設＝k，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似，若存在，證明你的結論并求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

如圖，是相似．                       
【證明】延長FE，與CD的延長線交于點G．

在Rt△AEF與Rt△DEG中，
∵　E是AD的中點，
∴　AE＝ED．
∵　∠AEF＝∠DEG，
∴　△AFE≌△DGE．                         
∴　∠AFE＝∠DGE．
∴　E為FG的中點．
又　CE⊥FG，
∴　FC＝GC．
∴　∠CFE＝∠G．
∴　∠AFE＝∠EFC．
又　△AEF與△EFC均為直角三角形，
∴　△AEF∽△EFC．                         
① 存在．                                    
如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝時，△AEF∽△BCF．
證明：當＝時，＝，
∴　∠ECG＝30°．
∴　∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．
∴　∠BCF＝90°－60°＝30°．
又　△AEF和△BCF均為直角三角形，
∴　△AEF∽△BCF．           
② 因為EF不平行于BC，
∴　∠BCF≠∠AFE．
∴　不存在第二種相似情況．          

（1）要求兩三角形相似，已知條件有一組直角，我們只需再證得一組對應角相等即可得出兩三角形相似，根據FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我們只要再得出∠DCE=∠FCE即可，可通過構建全等三角形來求解，延長FE交CD于G，我們不難得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根據一組直角和一條公共邊我們可得出△FEC和△GEC全等，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就湊齊了兩三角形相似的條件；
（2）要想使兩三角形相似，已知的條件有一組直角，那么分兩種情況進行討論：
當∠AFE=∠FCB時，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此這種情況是不成立的；
當∠AEF=∠FCB時，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中點，因此BC=2AE，所以我們可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根據（1）中AF=GD，AB=CD，我們可在△CEG中根據△EGD和△EDC相似，得出關于GD、ED、DC的比例關系，也就是AF、AB、AE的比例關系，有了AB=3AF，就能求出ED與AF的比例關系，也就求出了BC與AF的比例關系，以AF為中間值即可得出AB與BC的比例關系，也就求出了k的值