Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點M的坐標是（5，4），⊙M與y軸相切于點C，與x軸相交于A，B兩點．

（1）請直接寫出A，B，C三點的坐標，并求出過這三點的拋物線解析式；

（2）設（1）中拋物線解析式的頂點為E，

求證：直線EA與⊙M相切；

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，且點P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形？

如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】（1）連接AM，MC，設ME交x軸于點D，由M點的坐標可求得MC、MD的長，可求得C點坐標，在Rt△ADM中可求得AD，則容易求得A、B坐標；

（2）由A點坐標可求得拋物線解析式，則可求得ME的長，由勾股定理的逆定理可判定△AME為直角三角形，則可證得結論；

（3）可設P點坐標為（5，t），則可表示出PB、CP、結合BC的長，當△PBC為等腰三角形時，則有PB=BC，CP=BC，PC=PB三種情況，分別求解即可；

（1）A，B，C的坐標分別是A（2　，0　），B（8　，0　），C（0　，4　）；---3分

設拋物線解析式為，將（0,4）代入得即∴.

（2）證明：把化為y=（x﹣5）2，

∴E（5，﹣），

∴DE=，

∴ME=MD+DE=4+=，EA2=32+（）2=，

∵MA2+EA2=52+=，ME2=，

∴MA2+EA2=ME2，

∴∠MAE=90°，

即EA⊥MA，

∴EA與⊙M相切；

（3）解：存在；點P坐標為（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：

由勾股定理得：BC===4，

分三種情況：

①當PB=PC時，點P在BC的垂直平分線上，點P與M重合，

∴P（5，4）；

②當BP=BC=4時，如圖2所示：

∵PD===，

∴P（5，）；

③當PC=BC=4時，連接MC，如圖3所示：

則∠PMC=90°，

根據勾股定理得：PM===，

∴PD=4+，

∴P（5，4+）；

綜上所述：存在點P，且點P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形，

點P的坐標為（5，4），或（5，），或（5，4+）．