Question

（本題10分）如圖，⊙O的直徑AB=4，點P是AB延長線上的一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連結AC．
（1）若∠CPA=30°，求PC的長；
（2）若點P在AB的延長線上運動，∠CPA的平分線交AC于點M．你認為∠CMP的大小是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求出∠CMP的值．

Answer 1

（1）PC= (4分);   （2）不變化，∠CMP="45°" (6分)

分析：
（1）作輔助線，連接OC，根據切線的性質知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的長，可將PC的長求出；
（2）通過角之間的轉化，可知：∠CMP=1/2（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不發生變化。
解答：
（1）連接OC，

∵AB=4，∴OC=2
∵PC為⊙O的切線，∠CPO=30°
∴PC="OC/" tan30°=2//3=2。
（2）∠CMP的大小沒有變化．
理由如下：∵∠CMP=∠A+∠MPA（三角形外角定理），∠A=1/2∠COP（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），
∠MPA=1/2∠CPO（角平分線的性質），
∴∠CMP=∠A+∠MPA=1/2∠COP+1/2∠CPO=1/2（∠COP+∠CPO）=1/2×90°=45°。
點評：本題主要考查切線的性質及對直角三角形性質的運用。