Question

拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，已知拋物線的對(duì)稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3），
（1）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之差最大？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）平行于x軸的一條直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，若以MN為直徑的圓恰好與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線過(guò)C點(diǎn)，可得出c=-3，對(duì)稱軸x=1，則-

b

2a

=1，然后可將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，聯(lián)立由對(duì)稱軸得出的關(guān)系式即可求出拋物線的解析式．
（2）本題的關(guān)鍵是要確定P點(diǎn)的位置，由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，因此可連接AC，那么P點(diǎn)就是直線AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)．可根據(jù)A、C的坐標(biāo)求出AC所在直線的解析式，進(jìn)而可根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的解析式求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)圓和拋物線的對(duì)稱性可知：圓心必在對(duì)稱軸上．因此可用半徑r表示出M、N的坐標(biāo)，然后代入拋物線中即可求出r的值．

解答：解：（1）將C（0，-3）代入y=ax²+bx+c，
得c=-3．
將c=-3，B（3，0）代入y=ax²+bx+c，
得9a+3b+c=0．（1）
∵直線x=1是對(duì)稱軸，
∴-

b

2a

=1．（2）（2分）
將（2）代入（1）得
a=1，b=-2．
所以，二次函數(shù)得解析式是y=x²-2x-3．

（2）AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)P即為到B、C的距離之差最大的點(diǎn)．
∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），
∴直線AC的解析式是y=-3x-3，
又∵直線x=1是對(duì)稱軸，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，-6）．

（3）設(shè)M（x₁，y）、N（x₂，y），所求圓的半徑為r，
則x₂-x₁=2r，（1）
∵對(duì)稱軸為直線x=1，即

x1+x2

2

=1，
∴x₂+x₁=2．（2）
由（1）、（2）得：x₂=r+1．（3）
將N（r+1，y）代入解析式y(tǒng)=x²-2x-3，
得y=（r+1）²-2（r+1）-3．
整理得：y=r²-4．
由所求圓與x軸相切，得到r=|y|，即r=±y，
當(dāng)y＞0時(shí)，r²-r-4=0，
解得，r1=

1+ 17

2

，r2=

1- 17

2

（舍去），
當(dāng)y＜0時(shí)，r²+r-4=0，
解得，r1=

-1+ 17

2

，r2=

-1- 17

2

（舍去）．
所以圓的半徑是

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、切線的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．