Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（3，0）為圓心，以5為半徑的圓與x軸相交于B、C，與y軸的負(fù)半軸相交于D．
（1）若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)，求此拋物線的解析式，并寫出拋物線與圓A的另一個(gè)交點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若動(dòng)直線MN（MN∥x軸）從點(diǎn)D開始，以每秒1個(gè)長度單位的速度沿y軸的正方向移動(dòng)，且與線段CD、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，在線段OC上以每秒2個(gè)長度單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，連接PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，

MN•OP

MN+OP

的值最大，并求出最大值；
（3）在（2）的條件下，若以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和圓的半徑可求出點(diǎn)B，點(diǎn)C，和點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后把拋物線的解析式設(shè)成兩根式，把三點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出a的值，把a(bǔ)的值代入解析式化為一般式即可；由拋物線的對稱性可知點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．利用-

b

2a

求出對稱軸，利用對稱軸和點(diǎn)D的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間可得出DN=t，OP=8-2t，然后根據(jù)MN∥OC得出比例表示出MN，然后把表示出的MN和OP代入到

MN•OP

MN+OP

得到一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，當(dāng)t=-

b

2a

=2時(shí)，代入

MN•OP

MN+OP

求出此時(shí)的最大值．
（3）把相似作為已知的條件來做，角PCM為公共角，所以分兩種情況討論：第一種△PCM∽△OCD，由相似的比例即可求出他的值；第二種情況△MCP∽△OCD，也有相似得比例，根據(jù)比例求出他的值．

解答：解：（1）由A（3，0）可知OA=3，又圓的半徑為5得OB=2，OC=8，
所以B（-2，0）C（8，0），易得D（0，-4），
設(shè)y=a（x+2）（x-8），
從而-4=a（0+2）（0-8），
解得a=

1

4

，
所以y=

1

4

（x+2）（x-8），
即y=

1

4

x²-

3

2

x-4，
又-

b

2a

=3，點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于直線x=3對稱，
所以E（6，-4）；

（2）N（0，t-4），因?yàn)镸N∥OC，
所以

MN

DN

=

OC

OD

，即MN=2t，
又OP=8-2t，所以

MN•OP

MN+OP

=

2t(8-2t)

2t+8-2t

=-

1

2

（t-2）²+2
所以當(dāng)t=2時(shí)取最大值2；

（3）若△PCM∽△OCD，
則

PC

PM

=

OC

OD

，即

2t

4-t

=

8

4

，
解得t=2；
若△MCP∽△OCD，則

PC

MC

=

DC

OC

，
即

2t

4 5 - 5 t

=

4 5

8

，
解得t=

20

9

即當(dāng)t=2或t=

20

9

時(shí)，以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形相似的運(yùn)用．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．