Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作AF//BC，交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．

（1）BD與CD有什么數量關系，并說明理由．

（2）連接FD，與AB相交于點O，若BO=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）BD=CD，理由見解析；（2）四邊形AFBD是矩形，證明見解析.

【解析】

（1）先證明△AFE≌△DCE，從而得到AF=CD，因為AF=BD，則結論得證；

（2）先證明四邊形AFBD是平行四邊形，再等腰三角形的利用三線合一證得AD⊥BC，即∠ADB=90,即可證得四邊形AFBD是矩形.

（1）BD=CD，理由為：

∵AF∥BC,

∴∠AFE=∠DCE,

∵E是AD的中點,

∴AE=ED,

又∠AEF=∠DEC,

∴△AFE≌△DCE,

∴AF=CD,

∵AF=BD,

∴BD=CD；

（2）四邊形AFBD是矩形.理由為：

∵AF∥BC，AF=BD,

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∴BO=AB,

∵BO=AC

∴ AB=AC，

∵BD=CD，

∴AD⊥BC，即∠ADB=90，

∴四邊形AFBD是矩形.