Question

如圖,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,過點C作CD⊥AC交AB于點D.

(1)尺規作圖：過A，D，C三點作⊙O（只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法）；
(2)求證：BC是過A，D，C三點的圓的切線；
(3)若過A，D，C三點的圓的半徑為,則線段BC上是否存在一點P，使得以P，D，B為頂點的三角形與△BCO相似.若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）略
（2）證明略
（3）理由略

解：（1）作出圓心O， …………………………………………………1分
以點O為圓心，OA長為半徑作圓.…………………………………………1分
（2）證明：∵CD⊥AC,∴∠ACD="90°."
∴AD是⊙O的直徑……………1分
連結OC，∵∠A=∠B=30°,

∴∠ACB=120°,又∵OA="OC,"
∴∠ACO=∠A =30°,…………1分
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO ="120°-30°=90°. "
∴BC⊥OC,
∴BC是⊙O的切線. ……………………………………………1分
（3）存在. ……………………………………………………………………………1分
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,
∴∠BCD=∠B, 即DB=DC.
又∵在Rt△ACD中，DC=AD, ∴BD= .
解法一：①過點D作DP1// OC，則△P1D B∽△COB, ，
∵BO=BD+OD=,
∴P1D=×OC=× =.       ……………………………1分
②過點D作DP2⊥AB,則△BDP2∽△BCO, ∴，
∵BC＝
∴.………………………………………1分
解法二：①當△B P1D∽△BCO時，∠DP1B=∠OCB=90°.
在Rt△B P1D中，
DP1=.                           ………………1分
②當△B D P2∽△BCO時，∠P2DB=∠OCB=90°.
在Rt△B P2D中，
DP2=.                                ……………1分