Question

【題目】如圖，AD是△ABC的中線，AE∥BC，BE交AD于點F，且AF=DF．

（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形；

（2）當AB、AC之間滿足 時，四邊形ADCE是矩形；

（3）當AB、AC之間滿足 時，四邊形ADCE是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當AB=AC時（3）當AB=AC，AB⊥AC時

【解析】

試題分析：（1）首先證明△AFE≌△DFB可得AE=BD，進而可證明AE=CD，再由AE∥BC可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ADCE是平行四邊形；

（2）當AB=AC時，根據等腰三角形三線合一可得AD⊥BC，再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得結論；

（3）當AB=AC，AB⊥AC時，△ABC是等腰直角三角形，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=CD，根據等腰三角形的性質可得AD⊥BC，從而可得證明四邊形ADCE是正方形．

試題解析： （1）∵AD是△ABC的中線，

∴BD=CD，

∵AE∥BC，

∴∠AEF=∠DBF，

在△AFE和△DFB中，

，

∴△AFE≌△DFB（AAS），

∴AE=BD，

∴AE=CD，

∵AE∥BC，

∴四邊形ADCE是平行四邊形；

（2）當AB=AC時，四邊形ADCE是矩形；

∵AB=AC，AD是△ABC的中線，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∵四邊形ADCE是平行四邊形，

∴四邊形ADCE是矩形，

故答案為：AB=AC；

（3）當AB⊥AC，AB=AC時，四邊形ADCE是正方形，

∵AB⊥AC，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵AD是△ABC的中線，

∴AD=CD，AD⊥BC，

又∵四邊形ADCE是平行四邊形，

∴四邊形ADCE是正方形，

故答案為：AB⊥AC，AB=AC．