Question

如圖，菱形ABCD的邊長為48cm，∠A=60°，動點P從點A出發，沿著線路AB—BD做勻速運動，動點Q從點D同時出發，沿著線路DC—CB—BA做勻速運動.

（1）求BD的長；
（2）已知動點P、Q運動的速度分別為8cm/s、10cm/s. 經過12秒后，P、Q分別到達M、N兩點，若按角的大小進行分類，請問△AMN是哪一類三角形，并說明理由；
（3）設問題（2）中的動點P、Q分別從M、N同時沿原路返回，動點P的速度不變，動點Q的速度改變為cm/s，經過3秒后，P、Q分別到達E、F兩點，若△BEF與問題（2）中的△AMN相似，試求的值.

Answer 1

（1）48cm；（2）直角三角形；（3）4或12或24

試題分析：（1）根據菱形的性質結合可得△ABD是等邊三角形，即可求得結果；
（2）先分別求得12秒后點P和點Q到達的位置，連結MN，由（1）知△ABD（M）是等邊三角形，根據等邊三角形即可得到結果；
（3）依題意得，3秒時點P走過的路程為24cm，點Q走過的路程為3cm，分當點Q在NB上時，當點Q在BC上時，當點Q與點C重合時，三種情況，結合菱形的性質進行分析即可.
（1）∵四邊形ABCD是菱形
∴AB="BC=CD=AD=48"
又∵
∴△ABD是等邊三角形
∴BD=AB=48
∴BD的長為48cm；
（2）如圖1，12秒后，點P走過的路程為8×12=96
∴12秒后點P到達點D（M）
又∵12秒后，點Q走過的路程為10×12=120
∴12秒后點Q到達AB的中點N
連結MN，由（1）知△ABD（M）是等邊三角形
∴MN⊥AB于點N
∴
∴△AMN是直角三角形；
（3）依題意得，3秒時點P走過的路程為24cm，點Q走過的路程為3cm
∴點E是BD的中點
∴DE=BE=24
當點Q在NB上時（如圖1），

∴
∵點E是BD的中點
若EF₁⊥DB，則點F₁與點A重合，這種情況不成立
∴EF₁⊥AB時，∠EF₁B=∠ANM = 90°
由（1）知∠ABD =∠A = 60°
∴△EF₁B∽△MAN
∴
∴
∴，
如圖2，由菱形的軸對稱性，當點Q在BC上時，

∴點Q走過的路程為36cm
∴
如圖3，當點Q與點C重合時，即點F與點C重合

由（1）知，△BCD是等邊三角形
∴EF₃⊥BD于點E，∠EBF₃=∠A=60°
∴△F₃EB∽△MNA
此時BF₃=48
∴點Q走過的路程為72cm
∴
綜上所述，若△BEF∽△ANM ，則的值為4cm/s或12cm/s或24cm/s.
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握菱形的四條邊均相等；相似三角形的對應邊成比例，注意對應字母在對應位置上.