Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，點P在對角線AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圓．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若AC=8，tan∠BAC= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結OP、OA，OP交AD于E，如圖，

∵PA=PD，

∴弧AP=弧DP，

∴OP⊥AD，AE=DE，

∴∠1+∠OPA=90°，

∵OP=OA，

∴∠OAP=∠OPA，

∴∠1+∠OAP=90°，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠1=∠2，

∴∠2+∠OAP=90°，

∴OA⊥AB，

∴直線AB與⊙O相切；

（2）解：連結BD，交AC于點F，如圖，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴DB與AC互相垂直平分，

∵AC=8，tan∠BAC= ，

∴AF=4，tan∠DAC= = ，

∴DF=2 ，

∴AD= =2 ，

∴AE= ，

在Rt△PAE中，tan∠1= = ，

∴PE= ，

設⊙O的半徑為R，則OE=R﹣ ，OA=R，

在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，

∴R2=（R﹣ ）2+（ ）2，

∴R= ，

即⊙O的半徑為 ．

【解析】（1）連結OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根據垂徑定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，則∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根據菱形的性質得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根據切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切；（2）連結BD，交AC于點F，根據菱形的性質得DB與AC互相垂直平分，則AF=4，tan∠DAC= ，得到DF=2 ，根據勾股定理得到AD= =2 ，求得AE= ，設⊙O的半徑為R，則OE=R﹣ ，OA=R，根據勾股定理列方程即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質和解直角三角形的相關知識點，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能正確解答此題．