Question

已知正三角形的邊長為a，那么它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積S=______．

Answer 1

如圖所示，BC=a，
連接OB、OC，過O作OD⊥BC；
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC=

360°

3

=120°，
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠BOD=

1

2

∠BOC=

1

2

×120°=60°，BD=CD=

1

2

BC=

a

2

，
∴OB=

BD

sin∠BOD

=

a 2

3 2

=

3 a

3

；
∵∠BOD=60°，
∴∠DOB=90°-60°=30°，
∴OD=

1

2

×

3 a

3

=

3 a

6

，
∴S_大圓=π（OB）²=π（

3 a

3

）²=

πa2

3

，
S_小圓=π（OD）²=π（

3 a

6

）²=

πa2

12

，
∴S_圓環=S_大圓-S_小圓=

πa2

3

-

πa2

12

=

πa2

4

．