Question

【題目】在平面直角坐標系中，四邊形AOBC是矩形，點O（0，0），點A（5，0），點B（0，3）．以點A為中心，順時針旋轉矩形AOBC，得到矩形ADEF，點O，B，C的對應點分別為D，E，F．

（1）如圖①，當點D落在BC邊上時，求點D的坐標；

（2）如圖②，當點D落在線段BE上時，AD與BC交于點H．

①求證△ADB≌△AOB；

②求點H的坐標．

（3）記K為矩形AOBC對角線的交點，S為△KDE的面積，求S的取值范圍（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（1）D（1，3）；（2）①詳見解析；②H（，3）；（3）≤S≤．

【解析】

（1）如圖①，在Rt△ACD中求出CD即可解決問題；
（2）①根據HL證明即可；
②，設AH=BH=m，則HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根據AH2=HC2+AC2，構建方程求出m即可解決問題；
（3）如圖③中，當點D在線段BK上時，△DEK的面積最小，當點D在BA的延長線上時，△D′E′K的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題；

（1）如圖①中，

∵A（5，0），B（0，3），

∴OA=5，OB=3，

∵四邊形AOBC是矩形，

∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，

∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉得到，

∴AD=AO=5，

在Rt△ADC中，CD==4，

∴BD=BC-CD=1，

∴D（1，3）．

（2）①如圖②中，

由四邊形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，

∵點D在線段BE上，

∴∠ADB=90°，

由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，

∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．

②如圖②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，

又在矩形AOBC中，OA∥BC，

∴∠CBA=∠OAB，

∴∠BAD=∠CBA，

∴BH=AH，設AH=BH=m，則HC=BC-BH=5-m，

在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，

∴m2=32+（5-m）2，

∴m=，

∴BH=，

∴H（，3）．

（3）如圖③中，當點D在線段BK上時，△DEK的面積最小，最小值=DEDK=×3×（5-）=，

當點D在BA的延長線上時，△D′E′K的面積最大，最大面積=×D′E′×KD′=×3×（5+）=．

綜上所述，≤S≤．