Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，點D從點C出發沿CA方向以4 cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2 cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D，E運動的時間是t秒(0＜t≤15)．過點D作DF⊥BC于點F，連結DE，EF.

(1)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請說明理由；

(2)當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）能，理由詳見解析；（2）當t＝或12秒時，△DEF為直角三角形

【解析】

（1）能．首先證明四邊形AEFD為平行四邊形，當AE=AD時，四邊形AEFD為菱形，即60-4t=2t，解方程即可解決問題；

（2）分三種情形討論①當∠DEF=90°時，②當∠EDF=90°時．③當∠EFD=90°，分別求解即可

解：(1)能．

理由：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，

∴DF＝2t，

又∵AE＝2t，

∴AE＝DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，

又∵AE＝DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

當AE＝AD時，四邊形AEFD為菱形，

即60－4t＝2t，解得t＝10.

∴當t＝10秒時，四邊形AEFD為菱形；

(2)①當∠DEF＝90°時，由(1)知四邊形AEFD為平行四邊形，

∴EF∥AD，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠AED＝30°，

∴AD＝AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t，

解得t＝12；

②當∠EDF＝90°時，四邊形EBFD為矩形，

在Rt△AED中∠A＝60°，則∠ADE＝30°，

∴AD＝2AE，

即60－4t＝4t，解得t＝；

③若∠EFD＝90°，則E與B重合，

D與A重合，此種情況不存在．

綜上所述，當t＝或12秒時，△DEF為直角三角形