Question

如圖，已知直線l₁的解析式為y=3x+6，直線l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，直線l₂經過B、C兩點，點C的坐標為（8，0），點D是AC的中點，點Q從點C沿△BOC的三邊按逆時針方向以每秒1個單位長度的速度運動一周，設移動時間為t秒
（1）求直線l₂的解析式；
（2）設△DCQ的面積為S，請求出S關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）試探究：點P在x軸上以每秒1個單位長度的速度從點A向點C運動，若點P與點Q同時出發，當其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動，t為何值時，以點P、Q、C為頂點的三角形與△BOC相似．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出B，C點的坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式即可；
（2）根據當0＜t≤10時以及當10＜t＜16時，分別求出QE的長即可得出答案；
（3）根據當過點P作PQ⊥BC于點Q時，當QP⊥OC于點C時，分別利用相似三角形的判定與性質得出t的值即可．

解答：解：（1）由題意，知B（0，6），C（8，0），
設直線l₂的解析式為y=kx+b，則

8k+b=0 b=6

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
故l₂的解析式為：y=-

3

4

x+6；

（2）如圖1，過點Q作QE⊥OC于點E，
當0＜t≤10時，
∵QE⊥CO，
∴∠QEC=90°，
∴BO∥QE，
∴△CBO∽△CQE，
∴

OB

QE

=

BC

QC

，
∵BO=6，CO=8，
∴BC=

62+82

=10，
QC=t，
∴

6

QE

=

10

t

，
解得：QE=

3

5

t，
∵直線l₁的解析式為y=3x+6，直線l₁與x軸相交于A點，
∴x=-2，
∴AO=2，則AC=2+8=10，即DC=5，
∴△DCQ的面積為：S=

1

2

×5×

3

5

t=

3

2

t，
如圖2，當10＜t＜16時，
∵QO=16-t，DC=5，
∴△DCQ的面積為：S=

1

2

×5×（16-t）=-

5

2

t+40；

（3）如圖3，當過點P作PQ⊥BC于點Q時，
∵∠PQC=90°，∠BOC=90°，∠QCP=OCB，
∴△BOC∽△PQC，
∴

QC

CO

=

PC

BC

，
∴

t

8

=

10-t

10

，
解得：t=

40

9

，
如圖4，當QP⊥OC于點C時，
∵QP⊥CO，BO⊥CO，
∴QP∥BO，
∴△QPC∽△BOC，
∴

QC

BC

=

PC

CO

，
∴

t

10

=

10-t

8

，
解得：t=

50

9

，
綜上所述：當t=

40

9

，

50

9

時，以點P、Q、C為頂點的三角形與△BOC相似．

點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質和待定系數法求一次函數解析式等知識，利用數形結合以及分類討論得出是解題關鍵．