Question

（2013•成都）在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx（k為常數）與拋物線y=

1

3

x²-2交于A，B兩點，且A點在y軸左側，P點的坐標為（0，-4），連接PA，PB．有以下說法：
①PO²=PA•PB；
②當k＞0時，（PA+AO）（PB-BO）的值隨k的增大而增大；
③當k=-

3

3

時，BP²=BO•BA；
④△PAB面積的最小值為4

6

．
其中正確的是

③④

．（寫出所有正確說法的序號）

Answer 1

分析：首先得到兩個基本結論：
（I）設A（m，km），B（n，kn），聯立兩個解析式，由根與系數關系得到：m+n=3k，mn=-6；
（II）直線PA、PB關于y軸對稱．
利用以上結論，解決本題：
（1）說法①錯誤．如答圖1，設點A關于y軸的對稱點為A′，若結論①成立，則可以證明△POA′∽△PBO，得到∠AOP=∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此產生矛盾，故說法①錯誤；
（2）說法②錯誤．如答圖2，可求得（PA+AO）（PB-BO）=16為定值，故錯誤；
（3）說法③正確．聯立方程組，求得點A、B坐標，進而求得BP、BO、BA，驗證等式BP²=BO•BA成立，故正確；
（4）說法④正確．由根與系數關系得到：S_△PAB=2

9k2+24

，當k=0時，取得最小值為4

6

，故正確．

解答：解：設A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
聯立y=

1

3

x²-2與y=kx得：

1

3

x²-2=kx，即x²-3kx-6=0，
∴m+n=3k，mn=-6．
設直線PA的解析式為y=ax+b，將P（0，-4），A（m，km）代入得：

b=-4 ma+b=km

，解得a=

km+4

m

，b=-4，
∴y=（

km+4

m

）x-4．
令y=0，得x=

4m

km+4

，
∴直線PA與x軸的交點坐標為（

4m

km+4

，0）．
同理可得，直線PB的解析式為y=（

kn+4

n

）x-4，直線PB與x軸交點坐標為（

4n

kn+4

，0）．
∵

4m

km+4

+

4n

kn+4

=

8kmn+16(m+n)

(km+4)(kn+4)

=

8k×(-6)+16×3k

(km+4)(kn+4)

=0，
∴直線PA、PB與x軸的交點關于y軸對稱，即直線PA、PB關于y軸對稱．
（1）說法①錯誤．理由如下：
如答圖1所示，∵PA、PB關于y軸對稱，
∴點A關于y軸的對稱點A′落在PB上．
連接OA′，則OA=OA′，∠POA=∠POA′．

假設結論：PO²=PA•PB成立，即PO²=PA′•PB，
∴

PO

PA′

=

PB

PO

，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴說法①錯誤．
（2）說法②錯誤．理由如下：
易知：

OB

OA

=-

n

m

，
∴OB=-

n

m

OA．
由對稱可知，PO為△APB的角平分線，
∴

PB

PA

=

OB

OA

，
∴PB=-

n

m

PA．
∴（PA+AO）（PB-BO）=（PA+AO）[-

n

m

PA-（-

n

m

OA）]=-

n

m

（PA+AO）（PA-OA）=-

n

m

（PA²-AO²）．
如答圖2所示，過點A作AD⊥y軸于點D，則OD=-km，PD=4+km．

∴PA²-AO²=（PD²+AD²）-（OD²+AD²）=PD²-OD²=（4+km）²-（-km）²=8km+16，
∵m+n=3k，∴k=

1

3

（m+n），
∴PA²-AO²=8•

1

3

（m+n）•m+16=

8

3

m²+

8

3

mn+16=

8

3

m²+

8

3

×（-6）+16=

8

3

m²．
∴（PA+AO）（PB-BO）=-

n

m

（PA²-AO²）=-

n

m

•

8

3

m²=-

8

3

mn=-

8

3

×（-6）=16．
即：（PA+AO）（PB-BO）為定值，所以說法②錯誤．
（3）說法③正確．理由如下：
當k=-

3

3

時，聯立方程組：

y=- 3 3 x y= 1 3 x2-2

，得A（-2

3

，2），B（

3

，-1），
∴BP²=12，BO•BA=2×6=12，
∴BP²=BO•BA，故說法③正確．
（4）說法④正確．理由如下：
S_△PAB=S_△PAO+S_△PBO=

1

2

OP•（-m）+

1

2

OP•n=

1

2

OP•（n-m）=2（n-m）=2

(m+n)2-4mn

=2

9k2+24

，
∴當k=0時，△PAB面積有最小值，最小值為2

24

=4

6

．
故說法④正確．
綜上所述，正確的說法是：③④．
故答案為：③④．

點評：本題是代數幾何綜合題，難度很大．解答中首先得到兩個基本結論，其中PA、PB的對稱性是判定說法①的基本依據，根與系數關系的結論是判定說法②、④的關鍵依據．正確解決本題的關鍵是打好數學基礎，將平時所學知識融會貫通、靈活運用．