Question

已知：拋物線y=a（x-1）²+9經過點M(0， 

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4

)，頂點為A，它的對稱軸AD與直線y=x及x軸分別交于點C，點D．
（1）求a的值；
（2）過該拋物線的頂點A向直線y=x作垂線，垂足為B，試判斷點B是否在拋物線上？
（3）設點P是該拋物線上的一個動點，是否存在半徑為4

2

的⊙P，且⊙P既與直線y=x相切又與x軸相離？若有，求出點P的坐標；若無，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點M(0， 

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4

)代入y=a（x-1）²+9求出即可；
（2）把a=-

1

4

代入y=a（x-1）²+9，求出拋物線的解析式和頂點A的坐標，作AB⊥直線y=x，垂足為B，得出C（1，1），推出△ODC、△ABC是等腰直角三角形，求出OB=5

2

，作BT⊥x軸于點T，求出OT，得出B（5，5），把點B（5，5）代入y=-

1

4

(x-1)2+9看左邊、右邊是否相等即可；
（3）由（2）得出AB=4

2

，點A到直線y=x的距離為4

2

，推出⊙P與直線y=x相切、⊙P與x軸相離，①當⊙P在直線y=x的左上方時，設過點A（1，9）且平行于直線y=x的直線l的解析式為：y=x+b，代入求出直線l的解析式，推出點P可能在直線l上，故設符合條件的點P的坐標為（x，x+8），
把點P（x，x+8）代入y=-

1

4

(x-1)2+9，求出即可；②當⊙P在直線y=x的右下方時，根據圖形的對稱性，同理可得直線l'的解析式，設符合條件的點P的坐標為（x，x-8），把點P（x，x-8）代入y=-

1

4

(x-1)2+9求出即可．

解答：解：（1）把點M(0， 

35

4

)代入y=a（x-1）²+9得：
a(0-1)2+9=

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4

，
∴a=-

1

4

，
答：a的值是-

1

4

．

（2）答：點B是在拋物線上．
理由是：把a=-

1

4

代入y=a（x-1）²+9，得：
拋物線的解析式為：y=-

1

4

(x-1)2+9，頂點A（1，9），
作AB⊥直線y=x，垂足為B，依題意得：C（1，1），
∴△ODC是等腰直角三角形，OC=

2

，
∴∠OCD=∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，AC=9-1=8，BC=AC•sin45°=8×

2

2

=4

2

，
∴OB=5

2

，
作BT⊥x軸于點T，在Rt△OBT中，OT=OB•sin45°=5

2

•

2

2

=5，
∴B（5，5），
把點B（5，5）代入y=-

1

4

(x-1)2+9，左邊=5，右邊=-

1

4

(5-1)2+9=5，
∴左邊=右邊，
∴B（5，5）在拋物線y=-

1

4

(x-1)2+9上．

（3）解：由（2）得△ABC是等腰直角三角形，AB=4

2

，
又AB⊥直線y=x，即點A到直線y=x的距離為4

2

，
即點P與點A重合時，⊙P與直線y=x相切，
∵點P（1，9）到x軸的距離為9，9＞4

2

，
∴⊙P與x軸相離，
故點P₁（1，9）符合題意，
①當⊙P在直線y=x的左上方時，
設過點A（1，9）且平行于直線y=x的直線l的解析式為：y=x+b，
∴9=1+b，
∴b=8，
∴直線l的解析式為：y=x+8，
∵直線l平行直線y=x，AB⊥直線l，AB=4

2

，
∴直線l到直線y=x的距離為4

2

，
則點P可能在直線l上，故設符合條件的點P的坐標為（x，x+8），
把點P（x，x+8）代入y=-

1

4

(x-1)2+9，解得：x=1或x=-3，
∴P₁（1，9）或P₂（-3，5），
∵P₂（-3，5）到x軸的距離為5，5＜4

2

，
∴⊙P₂與x軸相交，
∴點P₂不符合題意，舍去；
②當⊙P在直線y=x的右下方時，根據圖形的對稱性，同理可得：
距離為4

2

且平行于直線y=x的直線l'的解析式為：y=x-8，
∴點P可能在直線l'上，故設符合條件的點P的坐標為（x，x-8），
把點P（x，x-8）代入y=-

1

4

(x-1)2+9，解得：x=-1+2

17

或x=-1-2

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，
∴P3(-1+2

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， -9+2

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)或P4(-1-2

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， -9-2

17

)，
∵P3(-1+2

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， -9+2

17

)到x軸的距離為|-9+2

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|≈0.75＜4

2

，
∴⊙P₃與x軸相交，故點P₃不合題意，舍去．
∵P4(-1-2

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， -9-2

17

)到x軸的距離為|-9-2

17

|≈17.25＞4

2

，
∴⊙P₄與x軸相離
綜合上述：符合條件的點P共有2點，它們的坐標分別是（1，9）、(-1-2

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， -9-2

17

)．
答：設點P是該拋物線上的一個動點，存在半徑為4

2

的⊙P，且⊙P既與直線y=x相切又與x軸相離，點P的坐標是（1，9），（-1-2

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，-9-2

17

）．

點評：本題主要考查對解一元二次方程，等腰直角三角形的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，直線與圓的位置關系，用待定系數法求一次函數的解析式等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．