Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．
（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半徑；
（2）連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD．設⊙O的半徑為r．

∵BC切⊙O于點D，

∴OD⊥BC．

∵∠C=90°，

∴OD∥AC，

∴△OBD∽△ABC．

∴ = ，即10r=6（10﹣r）．

解得r= ，

∴⊙O的半徑為

（2）解：四邊形OFDE是菱形．理由如下：

∵四邊形BDEF是平行四邊形，

∴∠DEF=∠B．

∵∠DEF= ∠DOB，

∴∠B= ∠DOB．

∵∠ODB=90°，

∴∠DOB+∠B=90°，

∴∠DOB=60°．

∵DE∥AB，

∴∠ODE=60°．

∵OD=OE．

∴OD=DE．

∵OD=OF，

∴DE=OF．

又∵DE∥OF，

∴四邊形OFDE是平行四邊形．

∵OE=OF，

∴平行四邊形OFDE是菱形．

【解析】（1）連接OD，設⊙O的半徑為r，可證出△BOD∽△BAC，則 = ，從而求得r；（2）由四邊形BDEF是平行四邊形，得∠DEF=∠B，再由圓周角定理可得，∠B= ∠DOB，則△ODE是等邊三角形，先得出四邊形OFDE是平行四邊形．再根據OE=OF，則平行四邊形OFDE是菱形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對平行四邊形的性質的理解，了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．