Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為BC邊上一動點，連接AD，以AD為直角邊且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．

（1）如圖1，若AB=AC，∠BAC=90°，當點D在線段BC上時（不與點B重合），

證明：△ACF≌△ABD

（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其它條件不變，猜想CF與BD的數量關系和位置關系是什么，并說明理由；

（3）如圖3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，點D在線段BC上運動（不與點B重合），試探究CF與BD位置關系．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）根據同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△ABD全等，

（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后與①的思路相同求解即可；

（3）過點A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AC=AE，∠AED=45°，再根據同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和價AED全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，從而得到CF⊥BD.

解：（1）∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，

∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，AD=AF

∴∠CAF=∠BAD，　　　

在△ACF和△ABD中，

AB=AC，∠CAF=∠，AD=AF，

∴△ACF≌△ABD（SAS）

（2）CF⊥BD，

如圖2，∵△ADF是等腰直角三角形，

∴AD=AF，

∵∠CAB=∠DAF=90°，

∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

即∠CAF=∠BAD，　

在△ACF和△ABD中，

AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，

∴△ACF≌△ABD（SAS），　

∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，

∴CF⊥BD　

（3）CF⊥BD

如圖3，過點A作AE⊥AC交BC于E，

∵∠BCA=45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴AC=AE，∠AED=45°，

∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，

∴∠CAF=∠EAD，　　

在△ACF和△AED中，

AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，　

∴△ACF≌△AED（SAS），　　

∴∠ACF=∠AED=45°，

∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，

∴CF⊥BD．　　　

“點睛”此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，根據同角的余角相等求出兩邊的夾角相等是證明三角形全等的關鍵，此類題目的特點是各小題求解思路一般都相同.