Question

【題目】鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，稱為第二 次操作;……依此類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準菱形.如圖1，平行四邊形ABCD中，若AB=1，BC=2，則平行四 邊形ABCD為1階準菱形.

（I）判斷與推理：

（i）鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是_________階準菱形；

（ii）為了剪去一個菱形，進行如下操作：如圖2，把平行四邊形ABCD沿BE折疊（點E在AD上），使點A落在BC邊上的點F，得到四邊形ABFE，請證明四邊形ABFE是菱形.

（Ⅱ）操作與計算：

已知平行四邊形ABCD的鄰邊長分別為l，a（a>1），且是3階準菱形，請畫出平行四邊形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖形下方寫出a的值.

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：（1）①根據鄰邊長分別為2和3的平行四邊形經過兩次操作，即可得出所剩四邊形是菱形，即可得出答案；

②根據平行四邊形的性質得出AE∥BF，進而得出AE=BF，即可得出答案；

（2）①利用3階準菱形的定義，即可得出答案；

②根據a=6b+r，b=5r，用r表示出各邊長，進而利用圖形得出ABCD是幾階準菱形．

試題解析：解：（I）（i）鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是2階準菱形；

解：（I）（ii）如圖2，由BE是四邊形ABFE的對稱軸，即知∠ABE=∠FBE，且AB=BF，EA=EF，又因為AE∥BF，所以∠AEB=∠FBE，從而有∠AEB=∠ABE，因此AB=AE，據此可知AB=AE=EF=BF，故四邊形ABFE為菱形.

解：（II）①如圖，必為a＞3,且a=4;

②如圖，必為2<a<3，且a=2.5;

③如圖，必為<a<2，且a-1+，解得a=;

④如圖，必為1<a<，且3（a-1）=1，解得a=.

綜上所述，a的值分別是：a1=4，a2=，a3=，a4=.