Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點、，將沿軸翻折得到，已知拋物線過點、，與軸交于點．

（1）拋物線頂點的坐標為_______；

（2）如圖2，沿軸向右以每秒個單位長度的速度平移得到，運動時間為秒．當時，求與重疊面積與的函數關系式；

（3）如圖3，將繞點順時針旋轉得到，線段與拋物線對稱軸交于點．在旋轉一圈過程中，是否存在點，使得？若存在，直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，（，）或（，）

【解析】

（1）由軸對稱可得點B、C坐標，可求得拋物線解析式，進而得到拋物線頂點坐標；

（2）根據題意構造相似三角形，用t表示對于線段，再用割補法表示與重疊面積即可；

（3）由題意可知，點P為線段MN中點，由拋物線性質，求得P點坐標，設出M（m，n）坐標，再由三角形相似可得N點坐標，用中點坐標公式可表示P點坐標，構造方程可求m，n，則問題可解.

解：（1）由已知，點C坐標為（-1,0）

把（-1,0），（0，-4）代入，得

解得，

∴

則對稱軸為直線

頂點縱坐標為：

∴ 頂點坐標為

故答案為：

（2）連BG，設BD交GE于點K，BD交FG于 T，過K做HK⊥FG于H

由（1）可知，點D坐標為（4,0）

則

由已知，，

∵GB∥OD

∴

則有，則，

得：

，

（3）（，）或（，）

如圖，當M在第四象限時，根據題意可知：當點是中點時，

∴MN=BC=

則，

P到x軸距離為：

可得：

分別過點M、N作MF⊥y軸于點F，NE⊥y軸于點E

0

∵

∴

∵

∴

∴設，則，

∴點P坐標為（， ）

∴

解得

∴M坐標為（，）

當點M在第三象限時，同理，設，則

∴點P坐標為（， ）

同理點

∴

解得

∴M坐標為（，）

故答案為（，）或（，）