Question

【題目】問題情境：課堂上，同學們研究幾何變量之間的函數關系問題：如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC=4，BD=2．點P是AC上的一個動點，過點P作MN⊥AC，垂足為點P（點M在邊AD、DC上，點N在邊AB、BC上）．設AP的長為x（0≤x≤4），△AMN的面積為y．

建立模型：（1）y與x的函數關系式為：，

解決問題：（2）為進一步研究y隨x變化的規律，小明想畫出此函數的圖象．請你補充列表，并在如圖的坐標系中畫出此函數的圖象：

x	0		1		2		3		4
y	0								0

（3）觀察所畫的圖象，寫出該函數的兩條性質：　 　．

Answer 1

【答案】(1) ①y=;②;(2)見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據線段相似的關系得出函數關系式（2）代入①中函數表達式即可填表（3）畫圖像，分析即可.

（1）設AP=x

①當0≤x≤2時

∵MN∥BD

∴△APM∽△AOD

∴

∴MP=

∵AC垂直平分MN

∴PN=PM=x

∴MN=x

∴y=APMN=

②當2＜x≤4時，P在線段OC上，

∴CP=4﹣x

∴△CPM∽△COD

∴

∴PM=

∴MN=2PM=4﹣x

∴y==﹣

∴y=

（2）由（1）

當x=1時，y=

當x=2時，y=2

當x=3時，y=

（3）根據（1）畫出函數圖象示意圖可知

1、當0≤x≤2時，y隨x的增大而增大

2、當2＜x≤4時，y隨x的增大而減小