Question

【題目】如圖，已知點，動點從原點出發，沿軸正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以點為直角頂點在第一象限內作等腰直角三角形．設點的運動時間為秒．

（1）若軸，求的值；

（2）若，求點的坐標．

（3）當時，軸上是否存在有一點，使得以、、為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）（6，2）；（3）點M的坐標為（，0）或（-3，0）或（8，0）或（-2，0）．

【解析】

（1）由AB∥x軸，可找出四邊形ABCO為長方形，再根據△APB為等腰三角形可得知∠OAP=45°，從而得出△AOP為等腰直角三角形，由此得出結論；

（2）作BQ⊥x軸于點Q，證△OAP≌△QPB得BQ=OP=OA=2，PQ=AO=4，據此知OQ=OP+PQ=6，從而得出答案；

（3）設點M（x，0），知MA=，MP=|x-3|，再分MA=MP，MA=AP，AP=MP，分三種情況求解可得．

解：（1）過點B作BC⊥x軸于點C，如圖1所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB∥x軸，

∴四邊形ABCO為長方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB為等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°∠PAB=45°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4（秒），

故t的值為4；

（2）如圖2，過點B作BQ⊥x軸于點Q，

∴∠AOP=∠BQP=90°，

∴∠OAP+∠OPA=90°，

∵△ABP為等腰直角三角形，

∴PA=PB，∠APB=90°，

∴∠AOP+∠BPQ=90°，

∴∠OAP=∠QPB，

∴△OAP≌△QPB（AAS），

∴BQ=OP=OA=2，PQ=AO=4，

則OQ=OP+PQ=6，

∴點B的坐標為（6，2）；

（3）當t=3時，即OP=3，

∵OA=4，

∴AP=5，

設點M（x，0），

則MA==，MP=|x-3|，

①MA=MP時，

=|x-3|，

解得x=；

②當MA=AP時，

=5，

解得x=-3或x=3（舍去）；

③當AP=MP時，|x-3|=5，

解得：x=8或x=-2；

綜上所述，點M的坐標為（，0）或（-3，0）或（8，0）或（-2，0）．