Question

【題目】如圖，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一點，△ABC為正三角形，D為BC的中點，M為⊙O上一點，并且∠BMC=60°．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若E，F分別是邊AB，AC上的兩個動點，且∠EDF=120°，⊙O的半徑為2，試問BE+CF的值是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、是定值；定值為

【解析】試題分析：(1)、連結OB、OD、OC，根據D為BC的中點，則OD⊥BC，∠BOD=∠COD，∠ODB=90°，根據∠BMC=∠BOC得出∠BOD=∠M=60°，則∠OBD=30°，根據△ABC為正三角形得出∠ABC=60°，則∠ABO=90°，即為切線；(2)、作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，連結AD，根據△ABC為正三角形，D為BC的中點則AD平分∠BAC，∠BAC=60°，DH=DN，∠HDN=120°，從而得出△DHE和△DNF全等，則HE=NF，則BE+CF=BH－EH+CN+NF=BH+CN，在Rt△DHB中根據∠DBH=60°得出BH=BD，同理得出CN=OC，從而得出BE+CF=BC，根據BD=OBsin30°=求出BC的長度，從而得出BE+CF為定值.

試題解析：(1)、連結OB、OD、OC，如圖1， ∵D為BC的中點， ∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，

∴∠ODB=90°， ∵∠BMC=∠BOC， ∴∠BOD=∠M=60°， ∴∠OBD=30°， ∵△ABC為正三角形，

∴∠ABC=60° ∴∠ABO=60°+30°=90°， ∴AB⊥OB， ∴AB是⊙O的切線；

(2)、BE+CF的值是為定值．作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，連結AD，如圖2，

∵△ABC為正三角形，D為BC的中點， ∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°， ∴DH=DN，∠HDN=120°，

∵∠EDF=120°， ∴∠HDE=∠NDF，在△DHE和△DNF中，， ∴△DHE≌△DNF，

∴HE=NF， ∴BE+CF=BH﹣EH+CN+NF=BH+CN， 在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°， ∴BH=BD，

同理可得CN=OC， ∴BE+CF=OB+OC=BC， ∵BD=OBsin30°=， ∴BC=2，

∴BE+CF的值是定值，為．