Question

如圖1，已知直線與拋物線交于兩點．

(1）求兩點的坐標；

(2）求線段的垂直平分線的解析式；

(3）如圖2，取與線段等長的一根橡皮筋，端點分別固定在兩處．用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖在直線上方的拋物線上移動，動點將與構成無數個三角形，這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點的坐標；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

答案：

解：(1)依題意得，解；或，∴A(6，－3)，B(－4，2)，

(2)作AB的垂直平分線交軸，軸于C，D兩點，交AB于M．

由(1)可知：OA=、OB=。

∴AB=。∴。

過B作BE⊥軸，E為垂足。

由△BEO∽OMC，得：，

∴，同理：，∴，。

設CD的解析式為。

∴∴

∴AB的垂直平分線的解析式為：

 (3)若存在點P使△APB的面積最大，則點P在與直線AB平行且和拋物線只有一個交點的直線上，并設該直線與軸，軸交于G、H兩點。

∴

∴

∵拋物線與直線只有一個交點，(可用轉換)

∴，∴。∴。

在直線GH：中，

∴，

∴。設O到GH的距離為，

∴。

∴。

∴

∵AB∥GH，∴P到AB的距離等于O到GH的距離。

∴。