Question

【題目】如圖，已知對稱軸為直線的拋物線與軸交于、兩點，與軸交于C點，其中.

（1）求點B的坐標及此拋物線的表達式；

（2）點D為y軸上一點，若直線BD和直線BC的夾角為15，求線段CD的長度；

（3）設點為拋物線的對稱軸上的一個動點，當為直角三角形時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1），；（2）CD=或；（3）的坐標為或或或.

【解析】

（1）將A、C坐標代入拋物線，結合拋物線的對稱軸，解得a、b、c的值，求得拋物線解析式;

（2）求出直線BC的解析式為，得出∠CBA=45°再求出∠DBA=30°或∠DBA=60°,再求出DO即可;

（3）設點P的坐標，分別以B、C、P為直角頂點，進行分類討論，再運用勾股定理得到方程式進行求解.

解：（1）根據對稱軸x=-1,A（1,0），得出B為(-3,0)

依題意得：，解之得：，

∴拋物線的解析式為.

（2）∵對稱軸為，且拋物線經過，∴

∴直線BC的解析式為. ∠CBA=45°

∵直線BD和直線BC的夾角為15， ∴∠DBA=30°或∠DBA=60°

在△BOD，，BO=3

∴DO=或，∴CD=或.

（3）設，又，，

∴，，，

①若點為直角頂點，則即：解之得：，

②若點為直角頂點，則即：解之得：，

③若點為直角頂點，則即：解之得：

，.

綜上所述的坐標為或或或.