Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸分別交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點E（﹣1，4），對稱軸交x軸于點F．

（1）請直接寫出這條拋物線和直線AE、直線AC的解析式；

（2）連接AC、AE、CE，判斷△ACE的形狀，并說明理由；

（3）如圖2，點D是拋物線上一動點，它的橫坐標為m，且﹣3＜m＜﹣1，過點D作DK⊥x軸于點K，DK分別交線段AE、AC于點G、H．在點D的運動過程中，

①DG、GH、HK這三條線段能否相等？若相等，請求出點D的坐標；若不相等，請說明理由；

②在①的條件下，判斷CG與AE的數量關系，并直接寫出結論．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝2x+6，y＝x+3；（2）直角三角形，見解析；（3）①相等，（﹣2，3）；②AE＝2CG

【解析】

（1）設頂點式，將A點坐標代入，再化為一般式，根據常數項等于3即可求出a的值，由此可得拋物線解析式，設直線AE和AC的解析式，再分別將A點、E點代入即可求出直線AE的解析式，將A點、C點代入即可求出直線AC解析式；

（2）分別求出AC2，CE2，AE2，利用勾股定理的逆定理即可判定；

（3）①設出點D、G、H的坐標，表示DG、HK、GH長度，先根據DG＝HK列出方程求得x值，再據此求得DG、HK、GH長度，即可得解；②分別求出CG和AE的長度，即可得出它們的數量關系．

解：（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+1）2+4＝ax2+2ax+a+4，

故a+4＝3，解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

設直線AE的解析式為：，

將點A（﹣3，0）、E（﹣1，4）的坐標代入一次函數表達式得

，

解得：，

故直線AE的表達式為：y＝2x+6，

設直線AC的解析式為：，
將點A（﹣3，0）、C（0，3）的坐標代入一次函數表達式得

，

解得：，

故直線AC的表達式為：y＝x+3；

（2）點A、C、E的坐標分別為：（﹣3，0）、（0，3）、（﹣1，4），

則AC2＝=18，CE2＝=2，AE2＝=20，

故AC2+CE2＝AE2，則△ACE為直角三角形；

（3）①設點D、G、H的坐標分別為：（x，﹣x2﹣2x+3）、（x，2x+6）、（x，x+3），

DG＝﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣3；HK＝x+3；GH＝2x+6﹣x﹣3＝x+3；

當DG＝HK時，﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），故x＝﹣2，

當x＝﹣2時，DG＝HK＝GH＝1，

故DG、GH、HK這三條線段相等時，點D的坐標為：（﹣2，3）；

②由①的點G的坐標為：（﹣2，2）

CG＝＝；AE＝＝2，

故AE＝2CG．