Question

【題目】如圖①，四邊形是知形，，點是線段上一動點(不與重合)，點是線段延長線上一動點，連接交于點.設，已知與之間的函數關系如圖②所示.

（1）求圖②中與的函數表達式;

（2）求證:;

（3）是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值;如果不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+4（0＜x＜2）；（2）見解析；（3）存在，x＝或或．

【解析】

（1）利用待定系數法可得y與x的函數表達式；

（2）證明△CDE∽△ADF，得∠ADF＝∠CDE，可得結論；

（3）分三種情況：

①若DE＝DG，則∠DGE＝∠DEG，

②若DE＝EG，如圖①，作EH∥CD，交AD于H，

③若DG＝EG，則∠GDE＝∠GED，

分別列方程計算可得結論．

（1）設y＝kx+b，

由圖象得：當x＝1時，y＝2，當x＝0時，y＝4，

代入得：，得，

∴y＝﹣2x+4（0＜x＜2）；

（2）∵BE＝x，BC＝2

∴CE＝2﹣x，

∴，

∴，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C＝∠DAF＝90°，

∴△CDE∽△ADF，

∴∠ADF＝∠CDE，

∴∠ADF+∠EDG＝∠CDE+∠EDG＝90°，

∴DE⊥DF；

（3）假設存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，

①若DE＝DG，則∠DGE＝∠DEG，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠B＝90°，

∴∠DGE＝∠GEB，

∴∠DEG＝∠BEG，

在△DEF和△BEF中，

，

∴△DEF≌△BEF（AAS），

∴DE＝BE＝x，CE＝2﹣x，

∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+（2﹣x）2＝x2，

x＝；

②若DE＝EG，如圖①，作EH∥CD，交AD于H，

∵AD∥BC，EH∥CD，

∴四邊形CDHE是平行四邊形，

∴∠C＝90°，

∴四邊形CDHE是矩形，

∴EH＝CD＝1，DH＝CE＝2﹣x，EH⊥DG，

∴HG＝DH＝2﹣x，

∴AG＝2x﹣2，

∵EH∥CD，DC∥AB，

∴EH∥AF，

∴△EHG∽△FAG，

∴，

∴，

∴（舍），

③若DG＝EG，則∠GDE＝∠GED，

∵AD∥BC，

∴∠GDE＝∠DEC，

∴∠GED＝∠DEC，

∵∠C＝∠EDF＝90°，

∴△CDE∽△DFE，

∴，

∵△CDE∽△ADF，

∴，

∴，

∴2﹣x＝，x＝，

綜上，x＝或或．