Question

【題目】如圖，已知BE是△ABC的角平分線，CP是△ABC的外角∠ACD的平分線．延長BE，BA分別交CP于點F，P．

（1）求證：∠BFC∠BAC；

（2）小智同學探究后提出等式：∠BAC=∠ABC+∠P．請通過推理演算判斷“小智發現”是否正確？

（3）若2∠BEC﹣∠P=180°，求∠ACB的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）“小智發現”是錯誤的，證明見解析；（3）∠ACB=60°．

【解析】

（1）根據角平分線的定義得到∠PCD＝∠ACD，∠FBC＝∠ABC，根據三角形的外角的性質即可證明結論；

（2）根據（1）中的結論變形后可得結論；

（3）根據三角形的外角和角平分線的定義，綜合已知，等量代換可得結論．

（1）∵CP是∠ACD的平分線，

∴∠PCD∠ACD．

∵BF是∠ABC的平分線，

∴∠FBC∠ABC，

∴∠BFC=∠PCD﹣∠FBC(∠ACD﹣∠ABC)∠BAC；

（2）由（1）知∠BFC∠BAC，

∴∠BAC=2∠BFC=2×(∠ABC+∠P)=∠ABC+2∠P，

∴“小智發現”是錯誤的；

（3）△ABE中，∠BEC=∠ABE+∠BAC∠ABC+∠BAC，

△ACP中，∠BAC=∠ACP+∠P，

∴∠BEC∠ABC+∠ACP+∠P∠ABC+∠PCD+∠P．

∵∠PCD∠ABC+∠BFC，

∴∠BEC∠ABC+∠P∠ABC∠BAC=∠ABC+∠P∠BAC．

∵2∠BEC﹣∠P=180°，

∴∠BEC∠P=90°，

∴90°∠P=∠ABC+∠P∠BAC，

　180°+∠P=2∠ABC+2∠P+∠BAC，

　180°=∠ABC+∠P+180°﹣∠ACB，

∠ACB=∠ABC+∠P=∠PCD=∠ACP，

∴∠ACB=60°．