Question

【題目】綜合與探究

如圖1，平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸分別交于點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點C，點D是y軸負半軸上一點，直線BD與拋物線y=ax2+bx+3在第三象限交于點E（﹣4，y）點F是拋物線y=ax2+bx+3上的一點，且點F在直線BE上方，將點F沿平行于x軸的直線向右平移m個單位長度后恰好落在直線BE上的點G處．

（1）求拋物線y=ax2+bx+3的表達式，并求點E的坐標；

（2）設點F的橫坐標為x（﹣4＜x＜4），解決下列問題：

①當點G與點D重合時，求平移距離m的值；

②用含x的式子表示平移距離m，并求m的最大值；

（3）如圖2，過點F作x軸的垂線FP，交直線BE于點P，垂足為F，連接FD．是否存在點F，使△FDP與△FDG的面積比為1：2？若存在，直接寫出點F的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣4，﹣6）；（2）①-1；②8；（3）見解析．

【解析】

（1）先將A（﹣2，0），B（4，0），代入y=ax2+bx+3求出a，b的值即可求出拋物線的表達式，再將E點坐標代入表達式求出y的值即可；

（2）①設直線BD的表達式為y=kx+b，將B（4，0），E（﹣4，﹣6）代入求出k，b的值，再將x=0代入表達式求出D點坐標，當點G與點D重合時，可得G點坐標，GF∥x軸，故可得F的縱坐標， 再將y=﹣3代入拋物線的解析式求解可得點F的坐標，再根據m=FG即可得m的值；

②設點F與點G的坐標，根據m=FG列出方程化簡可得出m的二次函數關系式，再根據二次函數的圖象可得m的取值范圍；

（3）分別分析當點F在x軸的左側時與右側時的兩種情況，根據△FDP與△FDG的面積比為1：2，故PD：DG=1：2．已知FP∥HD，則FH：HG=1：2．再分別設出F,G點的坐標，再根據兩點關系列出等式化簡求解即可得F的坐標.

解：（1）將A（﹣2，0），B（4，0），代入y=ax2+bx+3得：，解得：，

∴拋物線的表達式為y=﹣x2+x+3，

把E（﹣4，y）代入得：y=﹣6，

∴點E的坐標為（﹣4，﹣6）．

（2）①設直線BD的表達式為y=kx+b，將B（4，0），E（﹣4，﹣6）代入得：，

解得：，

∴直線BD的表達式為y=x﹣3．

把x=0代入y=x﹣3得：y=﹣3，

∴D（0，﹣3）．

當點G與點D重合時，G的坐標為（0，﹣3）．

∵GF∥x軸，

∴F的縱坐標為﹣3．

將y=﹣3代入拋物線的解析式得：﹣x2+x+3=﹣3，

解得：x=+1或x=﹣+1．

∵﹣4＜x＜4，

∴點F的坐標為（﹣+1，﹣3）．

∴m=FG=﹣1．

②設點F的坐標為（x，﹣x2+x+3），則點G的坐標為（x+m，（x+m）﹣3），

∴﹣x2+x+3=（x+m）﹣3，化簡得，m=﹣x2+8，

∵﹣＜0，

∴m有最大值，

當x=0時，m的最大值為8．

（3）當點F在x軸的左側時，如下圖所示：

∵△FDP與△FDG的面積比為1：2，

∴PD：DG=1：2．

∵FP∥HD，

∴FH：HG=1：2．

設F的坐標為（x，﹣x2+x+3），則點G的坐標為（﹣2x，﹣x﹣3），

∴﹣x2+x+3=﹣x﹣3，整理得：x2﹣6x﹣16=0，

解得：x=﹣2或x=8（舍去），

∴點F的坐標為（﹣2，0）．

當點F在x軸的右側時，如下圖所示：

∵△FDP與△FDG的面積比為1：2，

∴PD：DG=1：1．

∵FP∥HD，

∴FH：HG=1：1．

設F的坐標為（x，﹣x2+x+3），則點G的坐標為（2x， x﹣3），

∴﹣x2+x+3=x﹣3，整理得：x2+2x﹣16=0，

解得：x=﹣1或x=﹣﹣1（舍去），

∴點F的坐標為（﹣1，）．

綜上所述，點F的坐標為（﹣2，0）或（﹣1，）．