Question

如圖1，操作：把正方形CGEF的對(duì)角線

CE放在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上（CG＞BC），

取線段AE的中點(diǎn)M。

探究：線段MD、MF的關(guān)系，并加以證明。

說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題

的方法，請(qǐng)你把探索過程中的某種思路寫出來（要求

至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，

可以從下列①、②、③中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，

完成你的證明。

注意：選取①完成證明得10分；選取②完成證明得

7分；選取③完成證明得5分。

①     DM的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)N，且AD＝NE；

②     將正方形CGEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°（如圖2），

其他條件不變；③在②的條件下且CF＝2AD。

Answer 1

關(guān)系是：MD=MF，MD⊥MF。

證法一：如圖1，延長(zhǎng)DM交CE于N，連結(jié)

       FD、FN。

       ∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC

       ∴∠1＝∠2。

又∵AM=EM，∠3＝∠4，

∴△ADM≌△ENM

∴AD=EN，MD=MN。

∵AD=DC，∴DC=NE。

又∵正方形CGEF，

∴∠FCE=∠NEF=45°，F(xiàn)C=FE，∠CFE=90°。

又∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°。

∴∠DCF=∠NEF=45°，

∴△FDC≌△FNE。

∴FD=FN，∠5＝∠6

∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°。

又∵DM=MN，∴MD=MF，DM⊥MF。

   證法二：如圖2，連結(jié)AC、FD，延長(zhǎng)DM交CE于N，連結(jié)

           CM并延長(zhǎng)交FE于H。

           ∵正方形ABCD，∴AD∥BE。∴∠1＝∠2。

           ∵AM=EM，∠3＝∠4，

∴△ADM≌△ENM

∴MD=MN。

∵AC和CE分別是正方形ABCD和CGEF的對(duì)角線，

∴∠ACB=∠FEC=45°，∠FCN＝45°，

∴AC∥EF。同理可證△ACM≌△EHM。

∴CM=MH。

∵正方形ABCD和正方形CGEF，

∴∠DCN＝∠CFH=90°，

∴MC＝MD＝MN＝MF＝MH。

∴點(diǎn)D、C、N、F在以點(diǎn)M為圓心，MD為半徑的圓上，

∠FDN=∠DFM。

∴∠FDN＝∠FCN＝45°，∴∠FDN＝∠DFM＝45°。

∴MD=MF，DM⊥MF。

   證法三：如圖2，同證法二證出MC＝MD＝MN＝MF＝MH。

          ∴∠MCN=∠MNC，∠MCF=∠MFC。

          ∵∠DMC＝∠MCN＋∠MNC=2∠MCN，

∠FMH＝∠MCF＋∠MFC＝2∠MCF。

∴∠DMC+∠FMH=2∠MCN+∠MCF＝2（∠MCN+∠MCF）

＝2∠FCE=90°

∴∠DMF＝180°－90°＝90°，∴DM⊥FM。

思路一：

∵正方形ABCD、CGEF，∴AB=BC=CD=AD，

∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD＝90°

CF=EF=EG=CG，∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°，

∠FCE=∠FEC=45°

∴∠DCF=∠FEC。

思路二：

延長(zhǎng)DM交CE于N。

∵正方形ABCD、CGEF，∴AD∥CE，∴∠DAM=∠NEM。

又∵∠DMA＝∠NME，AM=EM，

∴△ADM≌△ENM。

思路三：

∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠FEC＝45°。

又∵正方形ABCD，∴∠DCF=180°－∠DCB－∠FCE＝45°，

∠DCF＝∠FEC＝45°

選取條件①

證明：如圖1，∵正方形ABCD∴AD∥BE，AD=DC，

     ∴∠1＝∠2

     ∵AD=NE，∠3=∠4，

     ∴△ADM≌△ENM。

     ∴MD=MN。

   又∵AD=DC，∴DC=NE。

   又∵正方形CGEF，∴FC=FE，∠FCE=∠FEN＝45°。

     ∴∠FCD=∠FEN=45°。

     ∴△FDC≌△FNE。

     ∴FD=FN，∠5＝∠6，∴∠DFN=∠CFE＝90°。

      ∴MD=MF，MD⊥MF。

選取條件②

證明：如圖3，延長(zhǎng)DM交FE于N。

∵正方形ABCD、CGEF，

∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE

∴∠1＝∠2

又∵M(jìn)A＝ME，∠3＝∠4

∴△AMD≌△EMN

∴MD=MN，AD=EN。∵AD=DC，∴DC=NE。

又∵FC=FE，∴FD=FN。

又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD。

選取條件③

證明：如圖3，延長(zhǎng)DM交FE于N。

∵正方形ABCD、CGEF，

∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE

∴∠1＝∠2

又∵M(jìn)A＝ME，∠3＝∠4

∴△AMD≌△EMN

∴AD=EN，MD=MN，∵CF=2AD，EF=2EN，

∴FD=FN。又∵∠DFN＝90°，∴FM⊥MD，MF=MD。