Question

如圖甲，操作：把正方形CGEF的對角線，CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG＞BC），取線段AE的中點M．
（1）探究線段MD、MF的位置及數量關系，直接寫出答案即可；
（2）將正方形CGEF繞點C逆時針旋轉45°（如圖乙），令CG=2BC其他條件不變，結論是否發生變化，并加以證明；
（2）將正方形CGEF繞點C旋轉任意角度后（如圖丙），其他條件不變．探究：線段MD，MF的位置及數量關系，并加以證明．

Answer 1

解：（1）MD=MF，MD⊥MF；

（2）結論不變MD=MF，MD⊥MF，
證明：如圖乙，延長DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
∴∠1=∠2．
在△AMD與△EMN中，
∵，
∴△AMD≌△EMN，
∴AD=EN，MD=MN，
∵CF=2AD，EF=2EN，
∴FD=FN．
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD；

（3）MD=MF，MD⊥MF，
證法一：如圖丙，延長DM到N，
使MN=MD，連接FD、FN、EN，
延長EN與DC延長線交于點H．
在△AMD與△EMN中，
∵，
∴△AMD≌△EMN，
∴∠3=∠4，AD=NE．
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°．
∴DC=NE．
∵∠3=∠4，
∴AD∥EH．
∴∠H=∠ADC=90°．
∵∠G=90°，∠5=∠6，
∴∠7=∠8．
∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，
∴∠DCF=∠FEN．
在△DCF與△NEF中，
∵，
∴△DCF≌△NEF，
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．
證法二：如圖丙，過點E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H，連接DF、FN．
∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△AMD≌△EMN，
∴DM=NM，AD=EN．
∵四邊形ABCD、四邊形CGEF是正方形，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，
∴∠DCF=∠5=∠NEF．
在△DCF與△NEF中，
∵，
∴△DCF≌△NEF．
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE，
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．
分析：（1）利用測量或觀察的方法即可作出判斷；
（2）易證明△AMD≌△EMN，得到AD=EN，MD=MN，再根據CF=2AD，EF=2EN，得到：FD=FN．從而證得FM⊥MD，MF=MD；
（3）延長DM到N，使MN=MD，連接FD、FN、EN，延長EN與DC延長線交于點H．證明△DCF≌△NEF，即可得到線段MD，MF的位置及數量關系．
點評：本題考查旋轉的性質--旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．