Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點E.

（1）求證：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的長；
（3）求證:BE是⊙O的切線.

Answer 1

（1）見解析；（2）；(3)見解析.

試題分析：（1）根據BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由圓周角定理∠BCA=∠BDA即可得出結論.
（2）判斷△BED∽△CBA，利用對應邊成比例的性質可求出DE的長度.
（3）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷OB⊥DE，可得出結論.
試題解析：（1）證明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD.
∵∠BCA=∠BDA（圓周角定理），
∴∠BCA=∠BAD.
（2）∵∠BDE=∠CAB（圓周角定理），∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，∴.
∵BD="BA" =12，BC=5，∴根據勾股定理得：AC=13.
∴，解得：.
（3）證明：連接OB，OD，

在△ABO和△DBO中，∵，
∴△ABO≌△DBO（SSS）.
∴∠DBO=∠ABO.
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC.∴OB∥ED.
∵BE⊥ED，∴EB⊥BO.∴OB⊥BE.
∵OB是⊙O的半徑，∴BE是⊙O的切線.