Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，點M為AB上的一動點，將矩形ABCD沿某一直線對折，使點C與點M重合，該直線與AB（或BC）、CD（或DA）分別交于點P、Q

（1）用直尺和圓規在圖甲中畫出折痕所在直線（不要求寫畫法，但要求保留作圖痕跡）

（2）如果PQ與AB、CD都相交，試判斷△MPQ的形狀并證明你的結論；

（3）設AM=x，d為點M到直線PQ的距離，，①求y關于x的函數解析式，并指出x的取值范圍；

②當直線PQ恰好通過點D時，求點M到直線PQ的距離．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）△MPQ是等腰三角形；（3）．

【解析】

試題分析：（1）作線段CM的垂直平分線即可；

（2）由矩形的性質得出AB∥CD，CD=AB=10，得出∠QCO=∠PMO，由折疊的性質得出PQ是CM的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質得出CQ=MQ，由ASA證明△OCQ≌△OMP，得出CQ=MP，得出MP=MQ即可；

（3）①作MN⊥CD于N，如圖2所示：則MN=AD=6，DN=AM=x，CN=10﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理得出，即可得出結果；

②當直線PQ恰好通過點D時，Q與D重合，DM=DC=10，由勾股定理求出AM，得出BM，再由勾股定理求出CM，即可得出結果．

試題解析：（1）如圖1所示：

（2）△MPQ是等腰三角形；理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，CD=AB=10，∴∠QCO=∠PMO，由折疊的性質得：PQ是CM的垂直平分線，∴CQ=MQ，OC=OM，在△OCQ和△OMP中，∵∠QCO=∠PMO，OC=OM，∠COQ=∠MOP，∴△OCQ≌△OMP（ASA），∴CQ=MP，∴MP=MQ，即△MPQ是等腰三角形；

（3）①作MN⊥CD于N，如圖2所示：

則MN=AD=6，DN=AM=x，CN=10﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理得：，即，整理得：，即（0≤x≤10）；

②當直線PQ恰好通過點D時，如圖3所示：

則Q與D重合，DM=DC=10，在Rt△ADM中，AM==8，∴BM=10﹣8=2，∴CM===，∴d=CM=，即點M到直線PQ的距離為．