Question

如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點O是BC的中點，連接OA．
（1）OA=OB=OC成立嗎？請說明理由．
（2）如圖2，若點M，N分別在線段AB，AC上移動，在移動中始終保持AN=BM，△OAN≌△OBM成立嗎？，并說明理由．
（3）如圖3，若點M，N分別在線段BA．AC的延長線上移動，在移動中始終保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形的性質得出AO=

1

2

BC進而得出OA=OB=OC；
（2）利用等腰直角三角形的性質得出∠B=∠OAN=45°，AO=BO，進而得出答案；
（3）利用等腰直角三角形的性質得出∠B=∠OAN=45°，AO=BO，進而得出△OAN≌△OBM，△OMN是等腰直角三角形．

解答：解：（1）成立．
理由：∵點O是BC的中點
∴BO=CO=

1

2

BC，
∵∠BAC=90°
∴AO=

1

2

BC，
∴OA=OB=OC；

（2）成立．
理由：∵O是BC的中點
∴AO是Rt△ABC的BC邊上的中線
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∴∠B=∠OAN=45°，AO=BO，
∵在△OAN和△OBM中，

AN=BM ∠NAO=∠B AO=BO

，
∴△OAN≌△OBM（SAS）；

（3）△OMN是等腰直角三角形；
理由：∵O是BC的中點
∴AO是Rt△ABC的BC邊上的中線
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∴∠B=∠OAN=45°，AO=BO，
∵AN=BM，
∴AN=BM，
∵在△OAN和△OBM中，

AN=BM ∠NAO=∠B AO=BO

，
∴△OAN≌△OBM（SAS）；
∴OM=ON，∠AOM=CON，
∴∠MON=∠MOC+∠CON=∠MOC+∠AOM=∠AOC=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．

點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定與性質，根據已知得出△OAN≌△OBM是解題關鍵．