Question

【題目】如圖，在中，點為直線上一點，點為延長線上一點，且，連接．

求證:；

當時，求的度數；

點是的外心，當點在直線上運動，且點恰好在內部或邊上時，直接寫出點運動的路徑的長，

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）：∠E=65°或25°；（3）

【解析】

（1）（1）利用“邊角邊”證明即可；

（2）分兩種情況：點D在線段BC上時和點D在BC延長線上時，利用全等三角形對應角相等，推出∠E=∠ADB，再根據等腰直角三角形的性質求出∠ACB=∠CAB=45°，根據外角性質求出∠ADB，即可解答；

（3）過點B作BF垂直AC，交AC于F，作DC邊的垂直平分線交BF于點P，過點F作FG⊥BC，交BC于點G，證明BF是AC的垂直平分線，從而推出點P即為三角形CAD的外心，根據點恰好在內部或邊上，確定點運動的路徑為BF，求BF的長即可.

（1）∵∠ABC=90°，

∴∠CBE=90°=∠ABC，

∵AB=CB， BE=BD，

∴ △ABD≌△CBE；

（2）當點D在線段BC上時，

∵△ABD≌△CBE，

∴∠E=∠ADB，

∵AB=CB，∠ABC=90°，

∴∠ACB=∠BAC=45°，

∴∠E=∠ADB=45°+20°=65°；

當點D在BC延長線上時，如圖，

∵△ABD≌△CBE，

∴∠BEC=∠ADB，

∵AB=CB，∠ABC=90°，

∴∠ACB=∠BAC=45°，

∴∠BEC=∠ADB=45°-20°=25°；

綜上：∠E=65°或25°.

（3）如圖，過點B作BF垂直AC，交AC于F，作DC邊的垂直平分線交BF于點P，過點F作FG⊥BC，交BC于點G，

∵BF⊥AC，

∴BF是AC的垂直平分線，

∴點P即為三角形CAD的外心.

∵P為BF上一點，

由題意可知點恰好在內部或邊上，

∴點運動的路徑為BF，

∵

∴，

∵BF是AC的垂直平分線，

∴BF=，

即點P的運動路徑長為