Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，點P在邊AD上運動，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對角線AC交于A，E兩點．

（1）如圖2，當⊙P與邊CD相切于點F時，求AP的長；

（2）不難發現，當⊙P與邊CD相切時，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數也在變化，若公共點的個數為4，直接寫出相對應的AP的值的取值范圍　 　．

Answer 1

【答案】（1）AP=；（2）＜AP＜或AP=5．

【解析】

（1）如圖2所示，連接PF，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=8，設AP=x，則DP=10﹣x，PF=x，由⊙P與邊CD相切于點F，根據已知可推導得出△DPF∽△DAC，根據相似三角形對應邊成比例即可求得AP長；

（2）當⊙P與BC相切時，設切點為G，如圖3，利用面積法求出PG=，然后分兩種情況①⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點，②⊙P過點A、C、D三點，分別討論即可得.

（1）如圖2所示，連接PF，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，

設AP=x，則DP=10﹣x，PF=x，

∵⊙P與邊CD相切于點F，

∴PF⊥CD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，

∴AC⊥CD，

∴AC∥PF，

∴△DPF∽△DAC，

∴，

∴，

∴x=，即AP=；

（2）當⊙P與BC相切時，設切點為G，如圖3，

SABCD=×6×8×2=10PG，

PG=，

①當⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點時，＜AP＜，即此時⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4，

②⊙P過點A、C、D三點，如圖4，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4，

此時AP=5，

綜上所述，AP的值的取值范圍是：＜AP＜或AP=5．

故答案為：＜AP＜或AP=5．