Question

19．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC，E為垂足，且S_{四邊形ABCD}=9，則AE=3．

Answer 1

分析 過A作AF⊥CD于F，求出四邊形AECF是矩形，求出∠FAD=∠BAE，根據AAS證△AEB≌△AFD，得出△AEB的面積等于△DAF的面積，AE=AF，求出矩形AECF的面積是4，推出AF×AE=4，即可求出答案．

解答 解：過A作AF⊥CD于F，
∵∠BAD=∠BCD=90°，AE⊥BC，
∴∠F=∠AEB=90°，∠F=∠C=∠AEC=90°，
∴四邊形AECF是矩形，
∴∠FAE=90°=∠BAD，
∴∠FAD=∠BAE=90°-∠EAD，
在△AEB和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FAD}\\{∠AEB=∠F}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFD，
∴△AEB的面積等于△DAF的面積，AE=AF，
∵S_{四邊形ABCD}=9，
∴矩形AECF的面積是9，
∴AF×AE=9，
∴AE=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，矩形的判定和性質的應用，解此題的關鍵是求出矩形AECF的面積是9和得出AE×AF=9．