Question

7．如圖，AB是⊙O的弦，AB=10，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB=45°，若點M、N分別是AB、BC的中點，則MN長的最大值是5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據中位線定理得到MN的最大時，AC最大，當AC最大時是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值．

解答 解：∵點M，N分別是AB，BC的中點，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，
∴當AC取得最大值時，MN就取得最大值，
當AC時直徑時，最大，如圖所示，
∵∠ACB=∠D=45°，AB=10，∠ABD=90°，
∴AD=$\sqrt{2}$AB=10$\sqrt{2}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD=5$\sqrt{2}$，
故答案為：5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質及圓周角定理，解題的關鍵是了解當什么時候MN的值最大，難度不大．