Question

【題目】已知直線AB：y=﹣ x+5與x軸、y軸分別交于點A、B，y軸上點C的坐標為（0，10）．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）動點M從A點出發，以每秒1個單位長度的速度，沿x軸向左運動，連接CM．設點M的運動時間為t，△COM的面積為S，求S與t的函數關系式；（并標出自變量的取值范圍）
（3）直線AB與直線CM相交于點N，點P為y軸上一點，且始終保持PM+PN最短，當t為何值時，△COM≌△AOB，并求出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對于直線AB：：y=﹣ x+5

當x=0時，y=5；當y=0時，x=10，

則A、B兩點的坐標分別為A（10，0）、B（0，5）

（2）

解：∵C（0，10），A（10，0）

∴OC=OA=10，

當0≤t≤10時，OM=OA﹣AM=10﹣t，S△OCM= ×10×（10﹣t）=50﹣5t；

當t＞10時，OM=AM﹣OA=t﹣10，S△OCM= ×10×（t﹣10）=5t﹣50；

∴S=

（3）

解：分為兩種情況：①當M在OA上時，OB=OM=5，△COM≌△AOB．

∴AM=OA﹣OM=10﹣5=5

∴動點M從A點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動5個單位，所需要的時間是5秒鐘；

M′（5，0），

②當M在AO的延長線上時，OM=OB=5，

則M″（﹣5，0），

∴動點M從A點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動15個單位，所需要的時間是15秒鐘；

連接M″N交y軸于P，

∴當t為5或15時，△COM≌△AOB，

∵C（0，10），M′（5，0），

∴直線CM′為：y=﹣2x+10，

由 解得 ，

∴N（ ， ），

∵M″（﹣5，0），

∴直線M″N為y= x+2，

∴P點的坐標為（0，2）；

【解析】（1）由直線L的函數解析式，令y=0求A點坐標，x=0求B點坐標；（2）由面積公式S= ×|OM|×|OC|，求出S與t之間的函數關系式；（3）若△COM≌△AOB，OM=OB則t時間內移動了AM，可算出t值，并得到M′和M″點坐標，根據M′的坐標和C的坐標求得直線CM′的解析式，再結合直線AB
的解析式求得交點N的坐標，根據N的坐標和M″的坐標求得直線NM″的解析式，即可求得與y軸的交點P的坐標；